Class 10 Gonit Koshe Dekhi 1.2 Somadhan
ক্লাস 10 গণিত কষে দেখি 1.2 সমাধান
একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান
কষে দেখি 1.2
1. নীচের প্রতিক্ষেত্রে প্রদত্ত মানগুলি প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ কিনা যাচাই করে লিখি:
(i) $x^2 + x + 1 = 0$, $1$ ও $-1$
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: $x^2 + x + 1 = 0$
- $x = 1$ বসিয়ে পাই:
$$\text{বামপক্ষ} = (1)^2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 \neq 0$$
যেহেতু বামপক্ষ $\neq$ ডানপক্ষ, তাই $1$ প্রদত্ত সমীকরণের বীজ নয়। - $x = -1$ বসিয়ে পাই:
$$\text{বামপক্ষ} = (-1)^2 + (-1) + 1 = 1 – 1 + 1 = 1 \neq 0$$
যেহেতু বামপক্ষ $\neq$ ডানপক্ষ, তাই $-1$ প্রদত্ত সমীকরণের বীজ নয়।
উত্তর: $1$ ও $-1$ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ নয়।
(ii) $8x^2 + 7x = 0$, $0$ ও $-2$
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: $8x^2 + 7x = 0$
- $x = 0$ বসিয়ে পাই:
$$\text{বামপক্ষ} = 8(0)^2 + 7(0) = 0 + 0 = 0 = \text{ডানপক্ষ}$$
যেহেতু বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ, তাই $0$ প্রদত্ত সমীকরণের একটি বীজ। - $x = -2$ বসিয়ে পাই:
$$\text{বামপক্ষ} = 8(-2)^2 + 7(-2) = 8(4) – 14 = 32 – 14 = 18 \neq 0$$
যেহেতু বামপক্ষ $\neq$ ডানপক্ষ, তাই $-2$ প্রদত্ত সমীকরণের বীজ নয়।
উত্তর: $0$ প্রদত্ত সমীকরণের বীজ হলেও $-2$ সমীকরণটির বীজ নয়।
(iii) $x + \frac{1}{x} = \frac{13}{6}$, $\frac{5}{6}$ ও $\frac{4}{3}$
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: $x + \frac{1}{x} = \frac{13}{6}$
- $x = \frac{5}{6}$ বসিয়ে পাই:
$$\text{বামপক্ষ} = \frac{5}{6} + \frac{1}{\frac{5}{6}} = \frac{5}{6} + \frac{6}{5}$$
$$= \frac{25 + 36}{30} = \frac{61}{30} \neq \frac{13}{6}$$
যেহেতু বামপক্ষ $\neq$ ডানপক্ষ, তাই $\frac{5}{6}$ প্রদত্ত সমীকরণের বীজ নয়। - $x = \frac{4}{3}$ বসিয়ে পাই:
$$\text{বামপক্ষ} = \frac{4}{3} + \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$$
$$= \frac{16 + 9}{12} = \frac{25}{12} \neq \frac{13}{6}$$
যেহেতু বামপক্ষ $\neq$ ডানপক্ষ, তাই $\frac{4}{3}$ প্রদত্ত সমীকরণের বীজ নয়।
উত্তর: $\frac{5}{6}$ ও $\frac{4}{3}$ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ নয়।
(iv) $x^2 – \sqrt{3}x – 6 = 0$, $-\sqrt{3}$ ও $2\sqrt{3}$
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: $x^2 – \sqrt{3}x – 6 = 0$
- $x = -\sqrt{3}$ বসিয়ে পাই:
$$\text{বামপক্ষ} = (-\sqrt{3})^2 – \sqrt{3}(-\sqrt{3}) – 6$$
$$= 3 – (-\sqrt{3} \times \sqrt{3}) – 6$$
$$= 3 + 3 – 6 = 6 – 6 = 0 = \text{ডানপক্ষ}$$
যেহেতু বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ, তাই $-\sqrt{3}$ প্রদত্ত সমীকরণের একটি বীজ। - $x = 2\sqrt{3}$ বসিয়ে পাই:
$$\text{বামপক্ষ} = (2\sqrt{3})^2 – \sqrt{3}(2\sqrt{3}) – 6$$
$$= (4 \times 3) – (2 \times 3) – 6$$
$$= 12 – 6 – 6 = 12 – 12 = 0 = \text{ডানপক্ষ}$$
যেহেতু বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ, তাই $2\sqrt{3}$ প্রদত্ত সমীকরণেরও একটি বীজ।
উত্তর: $-\sqrt{3}$ ও $2\sqrt{3}$ উভয়ই প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ।
—
2. k-এর মান নির্ণয় সংক্রান্ত অংক:
(i) $k$-এর কোন মানের জন্য $7x^2 + kx – 3 = 0$ দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ $\frac{2}{3}$ হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণ: $7x^2 + kx – 3 = 0$
যেহেতু সমীকরণটির একটি বীজ $\frac{2}{3}$, তাই $x = \frac{2}{3}$ বসালে সমীকরণটি সিদ্ধ হবে।
এখন, সমীকরণে $x = \frac{2}{3}$ বসিয়ে পাই:
$$7\left(\frac{2}{3}\right)^2 + k\left(\frac{2}{3}\right) – 3 = 0$$
$$\Rightarrow 7\left(\frac{4}{9}\right) + \frac{2k}{3} – 3 = 0$$
$$\Rightarrow \frac{28}{9} + \frac{2k}{3} – 3 = 0$$
$$\Rightarrow \frac{2k}{3} = 3 – \frac{28}{9}$$
$$\Rightarrow \frac{2k}{3} = \frac{27 – 28}{9}$$
$$\Rightarrow \frac{2k}{3} = -\frac{1}{9}$$
$$\Rightarrow 2k = -\frac{1}{9} \times 3$$
$$\Rightarrow 2k = -\frac{1}{3}$$
$$\Rightarrow k = -\frac{1}{6}$$
উত্তর: $k$-এর মান $-\frac{1}{6}$ হলে প্রদত্ত সমীকরণের একটি বীজ $\frac{2}{3}$ হবে।
(ii) $k$-এর কোন মানের জন্য $x^2 + 3ax + k = 0$ দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ $-a$ হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণ: $x^2 + 3ax + k = 0$
যেহেতু সমীকরণটির একটি বীজ $-a$, তাই $x = -a$ বসালে সমীকরণটি সিদ্ধ হবে।
এখন, সমীকরণে $x = -a$ বসিয়ে পাই:
$$(-a)^2 + 3a(-a) + k = 0$$
$$\Rightarrow a^2 – 3a^2 + k = 0$$
$$\Rightarrow -2a^2 + k = 0$$
$$\Rightarrow k = 2a^2$$
উত্তর: $k$-এর মান $2a^2$ হলে প্রদত্ত সমীকরণের একটি বীজ $-a$ হবে।
—
3. যদি $ax^2 + 7x + b = 0$ দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ $\frac{2}{3}$ এবং $-3$ হয়, তবে $a$ ও $b$-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: $ax^2 + 7x + b = 0$
- সমীকরণে $x = \frac{2}{3}$ বসিয়ে পাই:
$$a\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 7\left(\frac{2}{3}\right) + b = 0$$
$$\Rightarrow a\left(\frac{4}{9}\right) + \frac{14}{3} + b = 0$$
$$\Rightarrow \frac{4a + 42 + 9b}{9} = 0$$
$$\Rightarrow 4a + 9b = -42 \quad \dots (1)$$ - সমীকরণে $x = -3$ বসিয়ে পাই:
$$a(-3)^2 + 7(-3) + b = 0$$
$$\Rightarrow 9a – 21 + b = 0$$
$$\Rightarrow 9a + b = 21$$
$$\Rightarrow b = 21 – 9a \quad \dots (2)$$
এখন, (1) নং সমীকরণে $b$-এর মান বসিয়ে পাই:
$$4a + 9(21 – 9a) = -42$$
$$\Rightarrow 4a + 189 – 81a = -42$$
$$\Rightarrow -77a = -42 – 189$$
$$\Rightarrow -77a = -231$$
$$\Rightarrow a = \frac{-231}{-77} = 3$$
$a = 3$-এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$$b = 21 – 9(3) = 21 – 27 = -6$$
উত্তর: $a = 3$ এবং $b = -6$।
—
4. সমাধান করি:
(i) $3y^2 – 20 = 160 – 2y^2$
সমাধান:
$$3y^2 + 2y^2 = 160 + 20$$
$$\Rightarrow 5y^2 = 180$$
$$\Rightarrow y^2 = \frac{180}{5} = 36$$
$$\Rightarrow y = \pm \sqrt{36} = \pm 6$$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান: $y = 6, -6$।
(ii) $(2x + 1)^2 + (x + 1)^2 = 6x + 47$
সমাধান:
$$(4x^2 + 4x + 1) + (x^2 + 2x + 1) = 6x + 47$$
$$\Rightarrow 5x^2 + 6x + 2 = 6x + 47$$
$$\Rightarrow 5x^2 = 47 – 2$$
$$\Rightarrow 5x^2 = 45$$
$$\Rightarrow x^2 = \frac{45}{5} = 9$$
$$\Rightarrow x = \pm \sqrt{9} = \pm 3$$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান: $x = 3, -3$।
(iii) $(x – 7)(x – 9) = 195$
সমাধান:
$$x^2 – 9x – 7x + 63 = 195$$
$$\Rightarrow x^2 – 16x + 63 – 195 = 0$$
$$\Rightarrow x^2 – 16x – 132 = 0$$
$$\Rightarrow x^2 – (22 – 6)x – 132 = 0$$
$$\Rightarrow x^2 – 22x + 6x – 132 = 0$$
$$\Rightarrow x(x – 22) + 6(x – 22) = 0$$
$$\Rightarrow (x – 22)(x + 6) = 0$$
হয় $x – 22 = 0 \Rightarrow x = 22$
অথবা $x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান: $x = 22, -6$।
(iv) $3x – \frac{24}{x} = \frac{x}{3} \quad [x \neq 0]$
সমাধান:
$$\frac{3x^2 – 24}{x} = \frac{x}{3}$$
$$\Rightarrow 3(3x^2 – 24) = x^2$$
$$\Rightarrow 9x^2 – 72 = x^2$$
$$\Rightarrow 9x^2 – x^2 = 72$$
$$\Rightarrow 8x^2 = 72$$
$$\Rightarrow x^2 = \frac{72}{8} = 9$$
$$\Rightarrow x = \pm \sqrt{9} = \pm 3$$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান: $x = 3, -3$।
(v) $\frac{x}{3} + \frac{3}{x} = \frac{15}{x} \quad [x \neq 0]$
সমাধান:
$$\frac{x}{3} = \frac{15}{x} – \frac{3}{x}$$
$$\Rightarrow \frac{x}{3} = \frac{12}{x}$$
$$\Rightarrow x^2 = 36$$
$$\Rightarrow x = \pm \sqrt{36} = \pm 6$$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান: $x = 6, -6$।
(vi) $10x – \frac{1}{x} = 3 \quad [x \neq 0]$
সমাধান:
$$\frac{10x^2 – 1}{x} = 3$$
$$\Rightarrow 10x^2 – 1 = 3x$$
$$\Rightarrow 10x^2 – 3x – 1 = 0$$
$$\Rightarrow 10x^2 – (5 – 2)x – 1 = 0$$
$$\Rightarrow 10x^2 – 5x + 2x – 1 = 0$$
$$\Rightarrow 5x(2x – 1) + 1(2x – 1) = 0$$
$$\Rightarrow (2x – 1)(5x + 1) = 0$$
হয় $2x – 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$
অথবা $5x + 1 = 0 \Rightarrow 5x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{5}$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান: $x = \frac{1}{2}, -\frac{1}{5}$।
(vii) $\frac{2}{x^2} – \frac{5}{x} + 2 = 0 \quad [x \neq 0]$
সমাধান:
$$\frac{2 – 5x + 2x^2}{x^2} = 0$$
$$\Rightarrow 2x^2 – 5x + 2 = 0$$
$$\Rightarrow 2x^2 – (4 + 1)x + 2 = 0$$
$$\Rightarrow 2x^2 – 4x – x + 2 = 0$$
$$\Rightarrow 2x(x – 2) – 1(x – 2) = 0$$
$$\Rightarrow (x – 2)(2x – 1) = 0$$
হয় $x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
অথবা $2x – 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান: $x = 2, \frac{1}{2}$।
(viii) $\frac{x-2}{x+2} + 6\left(\frac{x-2}{x-6}\right) = 1 \quad [x \neq -2, 6]$
সমাধান:
$$\frac{(x – 2)(x – 6) + 6(x – 2)(x + 2)}{(x + 2)(x – 6)} = 1$$
$$\Rightarrow \frac{(x^2 – 8x + 12) + 6(x^2 – 4)}{x^2 – 4x – 12} = 1$$
$$\Rightarrow \frac{x^2 – 8x + 12 + 6x^2 – 24}{x^2 – 4x – 12} = 1$$
$$\Rightarrow 7x^2 – 8x – 12 = x^2 – 4x – 12$$
$$\Rightarrow 7x^2 – x^2 – 8x + 4x = -12 + 12$$
$$\Rightarrow 6x^2 – 4x = 0$$
$$\Rightarrow 2x(3x – 2) = 0$$
হয় $2x = 0 \Rightarrow x = 0$
অথবা $3x – 2 = 0 \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান: $x = 0, \frac{2}{3}$।
(ix) $\frac{1}{x – 3} – \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{6} \quad [x \neq 3, -5]$
সমাধান:
$$\frac{(x + 5) – (x – 3)}{(x – 3)(x + 5)} = \frac{1}{6}$$
$$\Rightarrow \frac{x + 5 – x + 3}{x^2 + 5x – 3x – 15} = \frac{1}{6}$$
$$\Rightarrow \frac{8}{x^2 + 2x – 15} = \frac{1}{6}$$
$$\Rightarrow x^2 + 2x – 15 = 48$$
$$\Rightarrow x^2 + 2x – 15 – 48 = 0$$
$$\Rightarrow x^2 + 2x – 63 = 0$$
$$\Rightarrow x^2 + (9 – 7)x – 63 = 0$$
$$\Rightarrow x^2 + 9x – 7x – 63 = 0$$
$$\Rightarrow x(x + 9) – 7(x + 9) = 0$$
$$\Rightarrow (x + 9)(x – 7) = 0$$
হয় $x + 9 = 0 \Rightarrow x = -9$
অথবা $x – 7 = 0 \Rightarrow x = 7$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান: $x = 7, -9$।
(x) $\frac{x}{x + 1} + \frac{x + 1}{x} = 2\frac{1}{12} \quad [x \neq 0, -1]$
সমাধান:
ধরি, $\frac{x}{x + 1} = a$
$$\therefore a + \frac{1}{a} = \frac{25}{12}$$
$$\Rightarrow \frac{a^2 + 1}{a} = \frac{25}{12}$$
$$\Rightarrow 12a^2 + 12 = 25a$$
$$\Rightarrow 12a^2 – 25a + 12 = 0$$
$$\Rightarrow 12a^2 – (16 + 9)a + 12 = 0$$
$$\Rightarrow 12a^2 – 16a – 9a + 12 = 0$$
$$\Rightarrow 4a(3a – 4) – 3(3a – 4) = 0$$
$$\Rightarrow (3a – 4)(4a – 3) = 0$$
- যদি $3a – 4 = 0$ হয়:
$$3a = 4 \Rightarrow a = \frac{4}{3}$$
$$\Rightarrow \frac{x}{x + 1} = \frac{4}{3}$$
$$\Rightarrow 4x + 4 = 3x \Rightarrow 4x – 3x = -4 \Rightarrow x = -4$$ - যদি $4a – 3 = 0$ হয়:
$$4a = 3 \Rightarrow a = \frac{3}{4}$$
$$\Rightarrow \frac{x}{x + 1} = \frac{3}{4}$$
$$\Rightarrow 4x = 3x + 3 \Rightarrow 4x – 3x = 3 \Rightarrow x = 3$$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান: $x = 3, -4$।
(xi) $\frac{ax + b}{a + bx} = \frac{cx + d}{c + dx} \quad [a \neq b, c \neq d]$
সমাধান:
বজ্রগুণন করে পাই,
$$(ax + b)(c + dx) = (cx + d)(a + bx)$$
$$\Rightarrow acx + adx^2 + bc + bdx = acx + bcx^2 + ad + bdx$$
$$\Rightarrow adx^2 + bc – bcx^2 – ad = 0$$
$$\Rightarrow dx^2(a – c) – ad + bc = 0$$
$$\Rightarrow x^2(ad – bc) – (ad – bc) = 0$$
$$\Rightarrow (ad – bc)(x^2 – 1) = 0$$
যেহেতু $a \neq b$ এবং $c \neq d$, তাই $ad – bc \neq 0$।
$$\therefore x^2 – 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান: $x = 1, -1$।
(xii) $(2x + 1) + \frac{3}{2x + 1} = 4 \quad [x \neq -\frac{1}{2}]$
সমাধান:
ধরি, $2x + 1 = a$
$$\therefore a + \frac{3}{a} = 4$$
$$\Rightarrow \frac{a^2 + 3}{a} = 4$$
$$\Rightarrow a^2 + 3 = 4a$$
$$\Rightarrow a^2 – 4a + 3 = 0$$
$$\Rightarrow a^2 – 3a – a + 3 = 0$$
$$\Rightarrow a(a – 3) – 1(a – 3) = 0$$
$$\Rightarrow (a – 3)(a – 1) = 0$$
হয় $a – 3 = 0 \Rightarrow a = 3 \Rightarrow 2x + 1 = 3 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$
অথবা $a – 1 = 0 \Rightarrow a = 1 \Rightarrow 2x + 1 = 1 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান: $x = 0, 1$।
(xiii) $\frac{x + 1}{2} + \frac{2}{x + 1} = \frac{x + 1}{3} + \frac{3}{x + 1} – \frac{5}{6} \quad [x \neq -1]$
সমাধান:
$$\frac{x + 1}{2} – \frac{x + 1}{3} + \frac{5}{6} = \frac{3}{x + 1} – \frac{2}{x + 1}$$
$$\Rightarrow \frac{3(x + 1) – 2(x + 1) + 5}{6} = \frac{1}{x + 1}$$
$$\Rightarrow \frac{3x + 3 – 2x – 2 + 5}{6} = \frac{1}{x + 1}$$
$$\Rightarrow \frac{x + 6}{6} = \frac{1}{x + 1}$$
$$\Rightarrow (x + 6)(x + 1) = 6$$
$$\Rightarrow x^2 + x + 6x + 6 = 6$$
$$\Rightarrow x^2 + 7x = 0$$
$$\Rightarrow x(x + 7) = 0$$
হয় $x = 0$
অথবা $x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান: $x = 0, -7$।
(xiv) $\frac{12x + 17}{3x + 1} – \frac{2x + 15}{x + 7} = 3\frac{1}{5} \quad [x \neq -\frac{1}{3}, -7]$
সমাধান:
$$\frac{(12x + 17)(x + 7) – (2x + 15)(3x + 1)}{(3x + 1)(x + 7)} = \frac{16}{5}$$
$$\Rightarrow \frac{(12x^2 + 84x + 17x + 119) – (6x^2 + 2x + 45x + 15)}{3x^2 + 21x + x + 7} = \frac{16}{5}$$
$$\Rightarrow \frac{(12x^2 + 101x + 119) – (6x^2 + 47x + 15)}{3x^2 + 22x + 7} = \frac{16}{5}$$
$$\Rightarrow \frac{6x^2 + 54x + 104}{3x^2 + 22x + 7} = \frac{16}{5}$$
$$\Rightarrow \frac{2(3x^2 + 27x + 52)}{3x^2 + 22x + 7} = \frac{16}{5}$$
$$\Rightarrow \frac{3x^2 + 27x + 52}{3x^2 + 22x + 7} = \frac{8}{5}$$
$$\Rightarrow 8(3x^2 + 22x + 7) = 5(3x^2 + 27x + 52)$$
$$\Rightarrow 24x^2 + 176x + 56 = 15x^2 + 135x + 260$$
$$\Rightarrow 9x^2 + 41x – 204 = 0$$
$$\Rightarrow 9x^2 + (68 – 27)x – 204 = 0$$
$$\Rightarrow 9x^2 + 68x – 27x – 204 = 0$$
$$\Rightarrow x(9x + 68) – 3(9x + 68) = 0$$
$$\Rightarrow (9x + 68)(x – 3) = 0$$
হয় $9x + 68 = 0 \Rightarrow 9x = -68 \Rightarrow x = -\frac{68}{9} = -7\frac{5}{9}$
অথবা $x – 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান: $x = 3, -7\frac{5}{9}$।
(xv) $\frac{x + 3}{x – 3} + 6\left(\frac{x – 3}{x + 3}\right) = 5 \quad [x \neq 3, -3]$
সমাধান:
ধরি, $\frac{x + 3}{x – 3} = a$
$$\therefore a + \frac{6}{a} = 5$$
$$\Rightarrow \frac{a^2 + 6}{a} = 5$$
$$\Rightarrow a^2 + 6 = 5a$$
$$\Rightarrow a^2 – 5a + 6 = 0$$
$$\Rightarrow a^2 – 3a – 2a + 6 = 0$$
$$\Rightarrow a(a – 3) – 2(a – 3) = 0$$
$$\Rightarrow (a – 3)(a – 2) = 0$$
- যদি $a – 3 = 0$ হয়:
$$a = 3 \Rightarrow \frac{x + 3}{x – 3} = 3$$
$$\Rightarrow 3x – 9 = x + 3 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6$$ - যদি $a – 2 = 0$ হয়:
$$a = 2 \Rightarrow \frac{x + 3}{x – 3} = 2$$
$$\Rightarrow 2x – 6 = x + 3 \Rightarrow x = 9$$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান: $x = 6, 9$।
(xvi) $\frac{1}{a + b + x} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{x} \quad [x \neq 0, -(a+b)]$
সমাধান:
$$\frac{1}{a + b + x} – \frac{1}{x} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$$
$$\Rightarrow \frac{x – (a + b + x)}{x(a + b + x)} = \frac{b + a}{ab}$$
$$\Rightarrow \frac{x – a – b – x}{ax + bx + x^2} = \frac{a + b}{ab}$$
$$\Rightarrow \frac{-(a + b)}{x^2 + ax + bx} = \frac{a + b}{ab}$$
$$\Rightarrow \frac{-1}{x^2 + ax + bx} = \frac{1}{ab}$$
$$\Rightarrow x^2 + ax + bx = -ab$$
$$\Rightarrow x^2 + ax + bx + ab = 0$$
$$\Rightarrow x(x + a) + b(x + a) = 0$$
$$\Rightarrow (x + a)(x + b) = 0$$
হয় $x + a = 0 \Rightarrow x = -a$
অথবা $x + b = 0 \Rightarrow x = -b$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান: $x = -a, -b$।
(xvii) $\left(\frac{x + a}{x – a}\right)^2 – 5\left(\frac{x + a}{x – a}\right) + 6 = 0 \quad [x \neq a]$
সমাধান:
ধরি, $\frac{x + a}{x – a} = y$
$$\therefore y^2 – 5y + 6 = 0$$
$$\Rightarrow y^2 – 3y – 2y + 6 = 0$$
$$\Rightarrow y(y – 3) – 2(y – 3) = 0$$
$$\Rightarrow (y – 3)(y – 2) = 0$$
- যদি $y – 3 = 0$ হয়:
$$y = 3 \Rightarrow \frac{x + a}{x – a} = 3$$
$$\Rightarrow 3x – 3a = x + a \Rightarrow 2x = 4a \Rightarrow x = 2a$$ - যদি $y – 2 = 0$ হয়:
$$y = 2 \Rightarrow \frac{x + a}{x – a} = 2$$
$$\Rightarrow 2x – 2a = x + a \Rightarrow x = 3a$$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান: $x = 2a, 3a$।
(xviii) $\frac{1}{x} – \frac{1}{x + b} = \frac{1}{a} – \frac{1}{a + b} \quad [x \neq 0, -b]$
সমাধান:
$$\frac{x + b – x}{x(x + b)} = \frac{a + b – a}{a(a + b)}$$
$$\Rightarrow \frac{b}{x^2 + bx} = \frac{b}{a^2 + ab}$$
$$\Rightarrow \frac{1}{x^2 + bx} = \frac{1}{a^2 + ab}$$
$$\Rightarrow x^2 + bx = a^2 + ab$$
$$\Rightarrow x^2 – a^2 + bx – ab = 0$$
$$\Rightarrow (x – a)(x + a) + b(x – a) = 0$$
$$\Rightarrow (x – a)(x + a + b) = 0$$
হয় $x – a = 0 \Rightarrow x = a$
অথবা $x + a + b = 0 \Rightarrow x = -(a + b)$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান: $x = a, -(a + b)$।
(xix) $\frac{1}{(x – 1)(x – 2)} + \frac{1}{(x – 2)(x – 3)} + \frac{1}{(x – 3)(x – 4)} = \frac{1}{6} \quad [x \neq 1,2,3,4]$
সমাধান:
$$\left(\frac{1}{x – 2} – \frac{1}{x – 1}\right) + \left(\frac{1}{x – 3} – \frac{1}{x – 2}\right) + \left(\frac{1}{x – 4} – \frac{1}{x – 3}\right) = \frac{1}{6}$$
$$\Rightarrow \frac{1}{x – 4} – \frac{1}{x – 1} = \frac{1}{6}$$
$$\Rightarrow \frac{(x – 1) – (x – 4)}{(x – 4)(x – 1)} = \frac{1}{6}$$
$$\Rightarrow \frac{x – 1 – x + 4}{x^2 – 5x + 4} = \frac{1}{6}$$
$$\Rightarrow \frac{3}{x^2 – 5x + 4} = \frac{1}{6}$$
$$\Rightarrow x^2 – 5x + 4 = 18$$
$$\Rightarrow x^2 – 5x + 4 – 18 = 0$$
$$\Rightarrow x^2 – 5x – 14 = 0$$
$$\Rightarrow x^2 – 7x + 2x – 14 = 0$$
$$\Rightarrow x(x – 7) + 2(x – 7) = 0$$
$$\Rightarrow (x – 7)(x + 2) = 0$$
হয় $x – 7 = 0 \Rightarrow x = 7$
অথবা $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান: $x = 7, -2$।
(xx) $\frac{a}{x – a} + \frac{b}{x – b} = \frac{2c}{x – c} \quad [x \neq a, b, c]$
সমাধান:
$$\frac{a}{x – a} + \frac{b}{x – b} = \frac{c}{x – c} + \frac{c}{x – c}$$
$$\Rightarrow \frac{a}{x – a} – \frac{c}{x – c} = \frac{c}{x – c} – \frac{b}{x – b}$$
$$\Rightarrow \frac{a(x – c) – c(x – a)}{(x – a)(x – c)} = \frac{c(x – b) – b(x – c)}{(x – c)(x – b)}$$
$$\Rightarrow \frac{ax – ac – cx + ac}{x – a} = \frac{cx – bc – bx + bc}{x – b}$$
$$\Rightarrow \frac{x(a – c)}{x – a} = \frac{x(c – b)}{x – b}$$
$$\Rightarrow x \left[ \frac{a – c}{x – a} – \frac{c – b}{x – b} \right] = 0$$
হয় $x = 0$
অথবা, $\frac{a – c}{x – a} = \frac{c – b}{x – b}$
$$\Rightarrow (a – c)(x – b) = (c – b)(x – a)$$
$$\Rightarrow ax – ab – cx + bc = cx – ac – bx + ab$$
$$\Rightarrow ax + bx – 2cx = 2ab – ac – bc$$
$$\Rightarrow x(a + b – 2c) = 2ab – ac – bc$$
$$\Rightarrow x = \frac{2ab – ac – bc}{a + b – 2c}$$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান: $x = 0, \frac{2ab – ac – bc}{a + b – 2c}$।
(xxi) $x^2 – (\sqrt{3} + 2)x + 2\sqrt{3} = 0$
সমাধান:
$$x^2 – \sqrt{3}x – 2x + 2\sqrt{3} = 0$$
$$\Rightarrow x(x – \sqrt{3}) – 2(x – \sqrt{3}) = 0$$
$$\Rightarrow (x – \sqrt{3})(x – 2) = 0$$
হয় $x – \sqrt{3} = 0 \Rightarrow x = \sqrt{3}$
অথবা $x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান: $x = \sqrt{3}, 2$।
