Class 10 Math Koshe Dekhi 1.1 Somadhan
দশম শ্রেণির গণিত কষে দেখি 1.1 অনুশীলনীর সমাধান
একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ
কষে দেখি 1.1
1. নীচের বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি/কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা বুঝে লিখি।
ভূমিকা: কোনো বহুপদী সংখ্যামালায় চলের সর্বোচ্চ ঘাত $2$ হলে, তাকে দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা বলা হয়। অর্থাৎ সংখ্যামালাটিকে $ax^2 + bx + c$ আকারে প্রকাশ করা যাবে, যেখানে $a \neq 0$।
(i) $x^2 – 7x + 2$
সমাধান: > এখানে সংখ্যামালাটিতে চলের ($x$) সর্বোচ্চ ঘাত $2$।
অতএব, $x^2 – 7x + 2$ একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।
(ii) $7x^5 – x(x + 2)$
সমাধান: > সংখ্যামালাটি হলো: $7x^5 – x^2 – 2x$
এখানে চলের ($x$) সর্বোচ্চ ঘাত $5$।
অতএব, এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
(iii) $2x(x + 5) + 1$
সমাধান: > সংখ্যামালাটিকে সরল করলে পাই:
$$2x(x + 5) + 1 = 2x^2 + 10x + 1$$
এখানে চলের ($x$) সর্বোচ্চ ঘাত $2$।
অতএব, এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।
(iv) $2x – 1$
সমাধান: > এখানে চলের ($x$) সর্বোচ্চ ঘাত $1$ (এটি একটি রৈখিক সংখ্যামালা)।
অতএব, এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
2. নীচের সমীকরণগুলির কোনটি $ax^2 + bx + c = 0$ যেখানে $a, b, c$ বাস্তব সংখ্যা এবং $a \neq 0$, আকারে লেখা যায় তা লিখি।
(i) $x – 1 + \frac{1}{x} = 6 \quad (x \neq 0)$
সমাধান: > প্রদত্ত সমীকরণ: $x – 1 + \frac{1}{x} = 6$
বা, $x + \frac{1}{x} = 6 + 1$
বা, $\frac{x^2 + 1}{x} = 7$
বা, $x^2 + 1 = 7x$
বা, $x^2 – 7x + 1 = 0$
এই সমীকরণটি $a = 1, b = -7, c = 1$ বিশিষ্ট $ax^2 + bx + c = 0$ আকার ধারণ করে।
অতএব, সমীকরণটিকে $ax^2 + bx + c = 0$ আকারে লেখা যায়।
(ii) $x + \frac{3}{x} = x^2 \quad (x \neq 0)$
সমাধান: > প্রদত্ত সমীকরণ: $x + \frac{3}{x} = x^2$
বা, $\frac{x^2 + 3}{x} = x^2$
বা, $x^2 + 3 = x^3$
বা, $x^3 – x^2 – 3 = 0$
এখানে চলের সর্বোচ্চ ঘাত $3$।
অতএব, সমীকরণটিকে $ax^2 + bx + c = 0$ আকারে লেখা যায় না।
(iii) $x^2 – 6\sqrt{x} + 2 = 0$
সমাধান: > প্রদত্ত সমীকরণ: $x^2 – 6x^{\frac{1}{2}} + 2 = 0$
যেহেতু এখানে চলের একটি ঘাত ভগ্নাংশ ($\frac{1}{2}$), তাই এটি বহুপদী সমীকরণই নয়।
অতএব, সমীকরণটিকে $ax^2 + bx + c = 0$ আকারে লেখা যায় না।
(iv) $(x – 2)^2 = x^2 – 4x + 4$
সমাধান: > বামপক্ষকে বিস্তার করলে পাই:
$x^2 – 4x + 4 = x^2 – 4x + 4$
বা, $(x^2 – 4x + 4) – (x^2 – 4x + 4) = 0$
বা, $0 = 0$
এটি একটি অভেদ (Identity), কোনো সমীকরণ নয়।
অতএব, একে $ax^2 + bx + c = 0$ আকারে লেখা যায় না।
3. $x^6 – x^3 – 2 = 0$ সমীকরণটি চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি।
সমাধান: > প্রদত্ত সমীকরণ: $x^6 – x^3 – 2 = 0$
সমীকরণটিকে আমরা লিখতে পারি:
$$(x^3)^2 – (x^3) – 2 = 0$$
ধরি, $x^3 = y$, তাহলে সমীকরণটি হয়: $y^2 – y – 2 = 0$, যা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
অতএব, সমীকরণটি চলের ত্রিপদ ঘাত বা $x^3$-এর সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
4.
(i) $(a – 2)x^2 + 3x + 5 = 0$ সমীকরণটি $a$-এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না তা নির্ণয় করি।
সমাধান: > কোনো সমীকরণ $ax^2 + bx + c = 0$ দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না যদি $x^2$-এর সহগ শূন্য হয়।
এখানে $x^2$-এর সহগ হলো $(a – 2)$।
শর্তানুসারে:
$$a – 2 = 0$$
বা, $a = 2$
অতএব, $a = 2$-এর জন্য সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না।
(ii) $\frac{x}{4 – x} = \frac{1}{3x} \quad (x \neq 0, x \neq 4)$-কে $ax^2 + bx + c = 0 \; (a \neq 0)$ দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করলে $x$-এর সহগ কত হবে তা নির্ণয় করি।
সমাধান: > প্রদত্ত সমীকরণ: $\frac{x}{4 – x} = \frac{1}{3x}$
ব্জ্রগুণন করে পাই:
$3x^2 = 1 \cdot (4 – x)$
বা, $3x^2 = 4 – x$
বা, $3x^2 + x – 4 = 0$
সমীকরণটিকে $ax^2 + bx + c = 0$ আকারের সাথে তুলনা করলে দেখা যায় এটি $3x^2 + 1 \cdot x – 4 = 0$।
অতএব, এখানে $x$-এর সহগ হলো $1$।
(iii) $3x^2 + 7x + 23 = (x + 4)(x + 3) + 2$-কে $ax^2 + bx + c = 0 \; (a \neq 0)$ দ্বিঘাত সমীকরণ আকারে প্রকাশ করি।
সমাধান: > প্রদত্ত সমীকরণ: $3x^2 + 7x + 23 = (x + 4)(x + 3) + 2$
বা, $3x^2 + 7x + 23 = (x^2 + 3x + 4x + 12) + 2$
বা, $3x^2 + 7x + 23 = x^2 + 7x + 14$
সব পদ বামপক্ষে আনলে পাই:
$3x^2 – x^2 + 7x – 7x + 23 – 14 = 0$
বা, $2x^2 + 0 \cdot x + 9 = 0$
বা, $2x^2 + 9 = 0$ (এটিই নির্ণেয় $ax^2+bx+c=0$ আকার)।
(iv) $(x + 2)^3 = x(x^2 – 1)$ সমীকরণটিকে $ax^2 + bx + c = 0 \; (a \neq 0)$ দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি এবং $x^2, x$ ও $x^0$-এর সহগ লিখি।
সমাধান: > আমরা জানি, $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$
বামপক্ষ ও ডানপক্ষ সরল করে পাই:
$x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 – x$
বা, $x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = x^3 – x$
উভয় পক্ষ থেকে $x^3$ বাদ দিলে থাকে:
$6x^2 + 12x + 8 = -x$
বা, $6x^2 + 12x + x + 8 = 0$
বা, $6x^2 + 13x + 8 = 0$ (এটিই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ আকার)।এখন সহগগুলি হলো:
- $x^2$-এর সহগ = $6$
- $x$-এর সহগ = $13$
- $x^0$-এর সহগ (ধ্রুবক পদ) = $8$ (যেহেতু $8 = 8x^0$)
5. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(i) 42-কে এমন দুটি অংশে বিভক্ত করি যাতে এক অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয়।
সমাধান: > ধরি, একটি অংশ = $x$
তাহলে অপর অংশটি হবে তার বর্গের সমান, অর্থাৎ = $x^2$
প্রশ্নানুসারে, দুটি অংশের সমষ্টি $42$:
$$x^2 + x = 42$$
বা, $x^2 + x – 42 = 0$ (এটিই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ)।
(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল 143
সমাধান: > ধরি, সংখ্যাদুটি $x$ এবং $(x + 2)$, যেখানে $x$ একটি ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা।
প্রশ্নানুসারে:
$x(x + 2) = 143$
বা, $x^2 + 2x – 143 = 0$ (এটিই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ)।
(iii) দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 313
সমাধান: > ধরি, প্রথম সংখ্যাটি = $x$
তাহলে পরবর্তী ক্রমিক সংখ্যাটি হবে = $x + 1$
প্রশ্নানুসারে, এদের বর্গের সমষ্টি $313$:
$x^2 + (x + 1)^2 = 313$
বা, $x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 313$
বা, $2x^2 + 2x + 1 – 313 = 0$
বা, $2x^2 + 2x – 312 = 0$
উভয় পক্ষকে $2$ দিয়ে ভাগ করে পাই:
$x^2 + x – 156 = 0$ (এটিই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ)।কষে দেখি 1.1 (প্রশ্ন 6)
6. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(i) একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি।
সমাধান: > ধরি, আয়তাকার ক্ষেত্রটির প্রস্থ = $x$ মিটার।
অতএব, আয়তাকার ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = $(x + 3)$ মিটার।আমরা জানি, আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{\text{দৈর্ঘ্য}^2 + \text{প্রস্থ}^2}$
শর্তানুসারে:
$$\sqrt{(x + 3)^2 + x^2} = 15$$উভয় পক্ষকে বর্গ করে পাই:
$$(x + 3)^2 + x^2 = 15^2$$
বা, $x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 + x^2 = 225$
বা, $2x^2 + 6x + 9 – 225 = 0$
বা, $2x^2 + 6x – 216 = 0$উভয় পক্ষকে $2$ দিয়ে ভাগ করে পাই:
$x^2 + 3x – 108 = 0$ (এটিই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ)।
(ii) এক ব্যক্তি 80 টাকায় কয়েক কিগ্রা. চিনি ক্রয় করলেন। যদি ওই টাকায় তিনি আরও 4 কিগ্রা. চিনি বেশি পেতেন, তবে তার কিগ্রা. প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হতো।
সমাধান: > ধরি, ওই ব্যক্তি 80 টাকায় $x$ কিগ্রা. চিনি ক্রয় করলেন।
অতএব, প্রতি কিগ্রা. চিনির পূর্বের দাম ছিল = $\frac{80}{x}$ টাকা।যদি তিনি ওই টাকায় আরও 4 কিগ্রা. চিনি বেশি পেতেন, তবে চিনির পরিমাণ হতো = $(x + 4)$ কিগ্রা.।
তখন প্রতি কিগ্রা. চিনির দাম হতো = $\frac{80}{x + 4}$ টাকা।শর্তানুসারে, বর্তমান দাম পূর্বের দাম অপেক্ষা 1 টাকা কম:
$$\frac{80}{x} – \frac{80}{x + 4} = 1$$বা, $80 \left( \frac{1}{x} – \frac{1}{x + 4} \right) = 1$
বা, $80 \left( \frac{x + 4 – x}{x(x + 4)} \right) = 1$
বা, $80 \left( \frac{4}{x^2 + 4x} \right) = 1$
বা, $\frac{320}{x^2 + 4x} = 1$
বা, $x^2 + 4x = 320$বা, $x^2 + 4x – 320 = 0$ (এটিই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ)।
(iii) দুটি স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব 300 কিমি.। একটি ট্রেন প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশনে গেল। ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি. বেশি হলে ট্রেনটির দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে 2 ঘণ্টা কম সময় লাগত।
সমাধান: > ধরি, ট্রেনটির প্রাথমিক গতিবেগ ছিল = $x$ কিমি./ঘণ্টা।
অতএব, 300 কিমি. দূরত্ব যেতে ট্রেনটির সময় লাগত = $\frac{300}{x}$ ঘণ্টা।গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি. বেশি হলে নতুন গতিবেগ হতো = $(x + 5)$ কিমি./ঘণ্টা।
তখন 300 কিমি. দূরত্ব যেতে সময় লাগত = $\frac{300}{x + 5}$ ঘণ্টা।শর্তানুসারে:
$$\frac{300}{x} – \frac{300}{x + 5} = 2$$বা, $300 \left( \frac{1}{x} – \frac{1}{x + 5} \right) = 2$
বা, $300 \left( \frac{x + 5 – x}{x(x + 5)} \right) = 2$
বা, $300 \left( \frac{5}{x^2 + 5x} \right) = 2$
বা, $\frac{1500}{x^2 + 5x} = 2$
বা, $2(x^2 + 5x) = 1500$
বা, $x^2 + 5x = 750$ [উভয় পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে]বা, $x^2 + 5x – 750 = 0$ (এটিই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ)।
(iv) একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায় বিক্রি করলেন। তিনি যত টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তাঁর লাভ হলো।
সমাধান: > ধরি, ঘড়িটির ক্রয়মূল্য = $x$ টাকা।
শর্তানুসারে, লাভের হার = $x\%$অতএব, মোট লাভ = ক্রয়মূল্য $\times$ লাভের হার = $x \times \frac{x}{100} = \frac{x^2}{100}$ টাকা।
আমরা জানি, বিক্রয়মূল্য = ক্রয়মূল্য + লাভ।শর্তানুসারে:
$$x + \frac{x^2}{100} = 336$$বা, $\frac{100x + x^2}{100} = 336$
বা, $x^2 + 100x = 33600$বা, $x^2 + 100x – 33600 = 0$ (এটিই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ)।
(v) স্রোতের বেগ ঘণ্টায় 2 কিমি. হলে, রতনমাঝির স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি. গিয়ে ওই দূরত্ব ফিরে আসতে 10 ঘণ্টা সময় লাগে।
সমাধান: > ধরি, স্থির জলে নৌকার বেগ = $x$ কিমি./ঘণ্টা।
দেওয়া আছে, স্রোতের বেগ = $2$ কিমি./ঘণ্টা।অতএব, স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = $(x + 2)$ কিমি./ঘণ্টা।
এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = $(x – 2)$ কিমি./ঘণ্টা।স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি. যেতে সময় লাগে = $\frac{21}{x + 2}$ ঘণ্টা।
স্রোতের প্রতিকূলে ওই একই দূরত্ব (21 কিমি.) ফিরে আসতে সময় লাগে = $\frac{21}{x – 2}$ ঘণ্টা।শর্তানুসারে, মোট সময় 10 ঘণ্টা:
$$\frac{21}{x + 2} + \frac{21}{x – 2} = 10$$বা, $21 \left( \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x – 2} \right) = 10$
বা, $21 \left( \frac{x – 2 + x + 2}{(x + 2)(x – 2)} \right) = 10$
বা, $21 \left( \frac{2x}{x^2 – 4} \right) = 10$
বা, $\frac{42x}{x^2 – 4} = 10$
বা, $10(x^2 – 4) = 42x$
বা, $10x^2 – 40 = 42x$
বা, $10x^2 – 42x – 40 = 0$উভয় পক্ষকে $2$ দিয়ে ভাগ করে পাই:
$5x^2 – 21x – 20 = 0$ (এটিই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ)।
(vi) আমাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেক্ষা মজিদের 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগে। তারা উভয়ে একসঙ্গে কাজটি 2 ঘণ্টায় শেষ করতে পারে।
সমাধান: > ধরি, একা কাজটি শেষ করতে মহিমের সময় লাগে = $x$ ঘণ্টা।
অতএব, একা কাজটি শেষ করতে মজিদের সময় লাগে = $(x + 3)$ ঘণ্টা।সম্পূর্ণ কাজটিকে $1$ অংশ ধরলে:
মহিম 1 ঘণ্টায় করে = $\frac{1}{x}$ অংশ।
মজিদ 1 ঘণ্টায় করে = $\frac{1}{x + 3}$ অংশ।
তারা একত্রে 1 ঘণ্টায় করে = $\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 3} \right)$ অংশ।যেহেতু তারা একত্রে সম্পূর্ণ কাজটি 2 ঘণ্টায় শেষ করে, তাই তারা একত্রে 1 ঘণ্টায় করে = $\frac{1}{2}$ অংশ।
শর্তানুসারে:
$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{2}$$বা, $\frac{x + 3 + x}{x(x + 3)} = \frac{1}{2}$
বা, $\frac{2x + 3}{x^2 + 3x} = \frac{1}{2}$বজ্রগুণন করে পাই:
$x^2 + 3x = 2(2x + 3)$
বা, $x^2 + 3x = 4x + 6$
বা, $x^2 + 3x – 4x – 6 = 0$বা, $x^2 – x – 6 = 0$ (এটিই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ)।
(vii) দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম।
সমাধান: > ধরি, দশক স্থানীয় অঙ্কটি = $x$।
অতএব, একক স্থানীয় অঙ্কটি = $(x + 6)$।সুতরাং, সংখ্যাটি হবে = $10 \times \text{দশক স্থানীয় অঙ্ক} + \text{একক স্থানীয় অঙ্ক}$
$$= 10x + (x + 6) = 11x + 6$$অঙ্কদ্বয়ের গুণফল = $x(x + 6)$
শর্তানুসারে, অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটি থেকে 12 কম:
$$x(x + 6) = (11x + 6) – 12$$বা, $x^2 + 6x = 11x – 6$
বা, $x^2 + 6x – 11x + 6 = 0$বা, $x^2 – 5x + 6 = 0$ (এটিই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ)।
(viii) 45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের বাইরের চারিপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গ মিটার।
সমাধান: > ধরি, খেলার মাঠের বাইরের চারিপাশের রাস্তাটি সমভাবে = $x$ মিটার চওড়া।
রাস্তা বাদে খেলার মাঠের ক্ষেত্রফল = $\text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ} = 45 \times 40 = 1800$ বর্গ মিটার।
রাস্তা সহ খেলার মাঠের দৈর্ঘ্য = $45 + 2x$ মিটার।
রাস্তা সহ খেলার মাঠের প্রস্থ = $40 + 2x$ মিটার।
অতএব, রাস্তা সহ খেলার মাঠের ক্ষেত্রফল = $(45 + 2x)(40 + 2x)$ বর্গ মিটার।আমরা জানি, রাস্তার ক্ষেত্রফল = রাস্তা সহ মাঠের ক্ষেত্রফল $-$ রাস্তা বাদে মাঠের ক্ষেত্রফল।
শর্তানুসারে:
$$(45 + 2x)(40 + 2x) – 1800 = 450$$বা, $(1800 + 90x + 80x + 4x^2) – 1800 = 450$
বা, $4x^2 + 170x = 450$
বা, $4x^2 + 170x – 450 = 0$উভয় পক্ষকে $2$ দিয়ে ভাগ করে পাই:
$2x^2 + 85x – 225 = 0$ (এটিই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ)।
